探究lnx求导与绝对值的关系

lnx为什么可以求导

在初等数学中，我们学过对数函数的概念。其中以自然对数函数lnx较为特殊，它在微积分中有着重要的应用。我们知道，对数函数的定义域是正实数集，而lnx的解析式在定义域内是连续、单调递增的。利用函数极限的定义，我们可以证明对数函数的导数存在。

对于lnx函数，根据导数的定义式可得：

$\"\\frac{\\mathrm{d}(lnx)}{\\mathrm{d}x}=\\lim_{\\Delta{x}\\rightarrow0}\\frac{ln(x+\\Delta{x})-ln(x)}{\\Delta{x}}\"$

根据对数的运算规则，可将上式转化为：

$\"\\frac{\\mathrm{d}(lnx)}{\\mathrm{d}x}=\\lim_{\\Delta{x}\\rightarrow0}\\frac{ln(\\frac{x+\\Delta{x}}{x})}{\\Delta{x}}\"$

再利用极限的基本性质，将log变为指数形式，得到：

$\"\\begin{aligned}$

由此可见，lnx的导数为1/x，而且定义域内所有的导数都存在。

绝对值函数的求导方法

在高中数学中，我们学习了绝对值函数的概念。其解析式为：

$\"y=|x|=\\begin{cases}$

很显然，当定义域上x>0时，|x|的导数为1；当x<0时，|x|的导数为-1；当x=0时，|x|在导数不存在。因此，我们需要使用导数的定义式，分别对x>0和x<0的情况进行讨论。

对于x>0的情况，根据导数的定义可得：

$\"\\frac{\\mathrm{d}(|x|)}{\\mathrm{d}x}=\\lim_{\\Delta{x}\\rightarrow0}\\frac{|x+\\Delta{x}|$

因为此时x>0，因此有x

$\"\\begin{aligned}$

同理，对于x<0的情况，可得：

$\"\\begin{aligned}$

综上可得，绝对值函数在定义域内不同的导函数分别为1和-1。

lnx与绝对值的关系

我们发现，lnx的定义域是正实数集，而绝对值函数在0点处不导数。这使得许多人会认为，ln|x|在x=0处不可导。但事实上，ln|x|在0点处也是可导的。

我们可以从定义出发，来探究ln|x|的导数在x=0处的取值。首先，根据绝对值函数的性质，我们可以得到：

$\"|x|=sgn(x)x\"$

其中sgn(x)表示符号函数，可以表示为：

$sgn(x)=\\begin{cases} 1,x$ 0\\\\&space;0,x=0\\\\&space;-1,x<0\\end{cases}\" title=\"sgn(x)=\\begin{cases} 1,x>0\\\\ 0,x=0\\\\ -1,x<0\\end{cases}\" />

因此，我们可以得到ln|x|的解析式：

$\"ln|x|=ln(sgn(x)x)\"$

接下来，我们对ln| x|进行求导：

$\\begin{aligned} \\frac{\\mathrm{d}(ln|x|)}{\\mathrm{d}x}&=\\frac{\\mathrm{d}(ln(sgn(x)x))}{\\mathrm{d}x}\\\\&=\\frac{1}{sgn(x)x}\\cdot\\frac{\\mathrm{d}(sgn(x)x)}{\\mathrm{d}x}\\\\&=\\frac{sgn(x)}{|x|} = \\begin{cases} \\frac{1}{x}, x$ 0\\\\&space;不存在,&space;x=0\\\\&space;\\frac{1}{x},&space;x<0&space;\\end{cases}\\end{aligned}\" title=\"\\begin{aligned} \\frac{\\mathrm{d}(ln|x|)}{\\mathrm{d}x}&=\\frac{\\mathrm{d}(ln(sgn(x)x))}{\\mathrm{d}x}\\\\&=\\frac{1}{sgn(x)x}\\cdot\\frac{\\mathrm{d}(sgn(x)x)}{\\mathrm{d}x}\\\\&=\\frac{sgn(x)}{|x|} = \\begin{cases} \\frac{1}{x}, x>0\\\\ 不存在, x=0\\\\ \\frac{1}{x}, x<0 \\end{cases}\\end{aligned}\" />